11.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),且橢圓經(jīng)過點(diǎn)($\frac{5}{2}$,-$\frac{3}{2}$)
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率.

分析 (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),結(jié)合兩點(diǎn)之間距離公式,求出2a,進(jìn)而求出b,可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)由(1)中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,可得橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率.

解答 解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
則2a=$\sqrt{(\frac{5}{2}+2)^{2}+(-\frac{3}{2})^{2}}$+$\sqrt{{(\frac{5}{2}-2)}^{2}+{(-\frac{3}{2})}^{2}}$=2$\sqrt{10}$,
即a=$\sqrt{10}$,
又∵c=2,
∴b2=a2-c2=6,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1,
(2)由(1)得:
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng):2$\sqrt{10}$,
 短軸長(zhǎng)2$\sqrt{6}$,
 離心率e=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,難度中檔.

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