Question

3．若ln（x+1）-1≤ax+b對任意x＞-1的恒成立，則$\frac{a}$的最小值是1-e．

Answer 1

分析 令y=ln（x+1）-ax-b-1，求出導數(shù)，分類討論，進而得到b≥-lna+a-2，可得$\frac{a}$≥1-$\frac{lna}{a}$-$\frac{2}{a}$，通過導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，進而得到$\frac{a}$的最小值．

解答 解：令y=ln（x+1）-ax-b-1，則y′=$\frac{1}{x+1}$-a，
若a≤0，則y′＞0恒成立，x＞-1時函數(shù)遞增，無最值．
若a＞0，由y′=0得：x=$\frac{1-a}{a}$，
當-1＜x＜$\frac{1-a}{a}$時，y′＞0，函數(shù)遞增；
當x＞$\frac{1-a}{a}$時，y′＜0，函數(shù)遞減．
則x=$\frac{1-a}{a}$處取得極大值，也為最大值-lna+a-b-2，
∴-lna+a-b-2≤0，
∴b≥-lna+a-2，
∴$\frac{a}$≥1-$\frac{lna}{a}$-$\frac{2}{a}$，
令t=1-$\frac{lna}{a}$-$\frac{2}{a}$，
∴t′=$\frac{1+lna}{{a}^{2}}$，
∴（0，e^-1）上，t′＜0，（e^-1，+∞）上，t′＞0，
∴a=e^-1，t_min=1-e．
∴$\frac{a}$的最小值為1-e．
故答案為：1-e．

點評 本題考查不等式的恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用導數(shù)判斷單調(diào)性，求極值和最值是解題的關鍵，屬于中檔題