Question

如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出下列四個(gè)命題：

①三棱錐的體積不變；
②直線與平面所成角的大小不變；
③直線與直線所成角的大小不變；
④二面角的大小不變．
其中所有真命題的編號(hào)是               ．

Answer 1

①③④

連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202651326787.png" style="vertical-align:middle;" />為正方體，所以。而面，面，所以面。在上運(yùn)動(dòng)，則到面的距離不變。而的面積為定值，所以為定值，命題①正確；
過(guò)點(diǎn)作面，垂足為，則就是直線與平面所成角。由上面的證明可知到面的距離不變，所以大小不變。而隨著在上運(yùn)動(dòng)，大小在變化，所以在變化，從而可得不固定，命題②不正確；
連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202651326787.png" style="vertical-align:middle;" />為正方體，所以，面，從而有。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202651560289.png" style="vertical-align:middle;" />在上運(yùn)動(dòng)，，所以，則面，從而可得。所以，則直線與直線所成角恒為90°，命題③正確；
由上可得，，則二面角的大小與二面角的大小相等，而因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202651326787.png" style="vertical-align:middle;" />為正方體，所以二面角的大小固定，所以二面角的大小不變，命題④正確。