Question

5．已知f（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，令U_n=$\frac{f（\frac{1}{{2}^{n}}）}{n}$，則{U_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

Answer 1

分析 f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{1}{{2}^{n}}$=…=（$\frac{1}{2}$）^n-1f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$=-$\frac{n}{{2}^{n}}$，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．

解答 解：∵f（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{1}{{2}^{n}}$=（$\frac{1}{2}$）²f（$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{2}{{2}^{n}}$=（$\frac{1}{2}$）³f（$\frac{1}{{2}^{n-3}}$）-$\frac{3}{{2}^{n}}$=…=（$\frac{1}{2}$）^n-1f（$\frac{1}{2}$）-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$=-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴U_n=$\frac{f（\frac{1}{{2}^{n}}）}{n}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴{U_n}的前n項(xiàng)和T_n=-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1，
故答案為：$\frac{1}{{2}^{n}}$-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征，由函數(shù)關(guān)系式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，屬于中檔題．