Question

7．已知α∈[0，π），在直角坐標系xOy中，直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l₂的極坐標方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求證：l₁⊥l₂
（Ⅱ）設(shè)點A的極坐標為（2，$\frac{π}{3}$），P為直線l₁，l₂的交點，求|OP|•|AP|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；消去參數(shù)t可得：直線l₁的普通方程．又直線l₂的極坐標方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．利用互化公式可得直線l₂的直角坐標方程，根據(jù)兩直線垂直的條件即可證明：l₁⊥l₂．
（Ⅱ）當ρ=2，$θ=\frac{π}{3}$時，滿足方程ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．可得點A（2，$\frac{π}{3}$），在直線ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）上．設(shè)點P到直線OA的距離為d，由l₁⊥l₂可知，d的最大值為$\frac{|OA|}{2}$=1．即可得出|OP|•|AP|=d•|OA|=2d最大值．

解答 解：（Ⅰ）證明：直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
消去參數(shù)t可得：直線l₁的普通方程為：xsinα-ycosα=0．
又直線l₂的極坐標方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．
即直線l₂的直角坐標方程為：xcosα+ysinα-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=0．
因為sinαcosα+（-cosα）sinα=0，
根據(jù)兩直線垂直的條件可知，l₁⊥l₂．
（Ⅱ）當ρ=2，$θ=\frac{π}{3}$時，ρcos（θ-α）=2cos$（\frac{π}{3}-α）$=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．
所以點A（2，$\frac{π}{3}$），在直線ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）上．
設(shè)點P到直線OA的距離為d，由l₁⊥l₂可知，d的最大值為$\frac{|OA|}{2}$=1．
于是|OP|•|AP|=d•|OA|=2d≤2
所以|OP|•|AP|的最大值為2．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標方程與極坐標方程的互化、互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．