Question

14．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax-$\frac{1}{4}$，g（x）=e^x-e（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（I）若曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線與曲線y=g（x）在（0，g（0））處的切線互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\\{\;}\end{array}\right.$，討論函數(shù)h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得它們?cè)趚=0處的導(dǎo)數(shù)值，由導(dǎo)數(shù)值乘積等于-1求得a值；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=e^x-e在實(shí)數(shù)集上為單調(diào)增函數(shù)，且僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a≤0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)f（x）在x≤0時(shí)必有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；然后分類討論判斷當(dāng)a＞0時(shí)f（x）的極值點(diǎn)的情況得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=-3x²+a，g′（x）=e^x，
則f′（0）=a，g′（0）=1，則a=-1；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=e^x-e在實(shí)數(shù)集上為單調(diào)增函數(shù)，
且僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，
又f′（x）=-3x²+a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減，且過點(diǎn)（0，-$\frac{1}{4}$），f（-1）=$\frac{3}{4}-a＞0$，
即f（x）在x≤0時(shí)必有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得兩根${x}_{1}=-\sqrt{\frac{a}{3}}＜0$，${x}_{2}=\sqrt{\frac{a}{3}}＞0$，
則$-\sqrt{\frac{a}{3}}$是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，$\sqrt{\frac{a}{3}}$是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)．
而f（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=-$（-\sqrt{\frac{a}{3}}）^{3}+a（-\sqrt{\frac{a}{3}}）-\frac{1}{4}=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}＜0$，
現(xiàn)在討論極大值的情況：
$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）=-（\sqrt{\frac{a}{3}}）^{3}+a\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}$
當(dāng)$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＜0，即a＜$\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）恒小于0，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$=0，即a=$\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一解${x}_{0}=\sqrt{\frac{a}{3}}=\frac{1}{2}$，此時(shí)y=h（x）有三個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＞0，即a＞$\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)解，一個(gè)小于$\sqrt{\frac{a}{3}}$，一個(gè)大于$\sqrt{\frac{a}{3}}$．
若f（1）=-1+a-$\frac{1}{4}$＜0，即a＜$\frac{5}{4}$時(shí)，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＜1，此時(shí)y=h（x）有四個(gè)零點(diǎn)；
若f（1）=-1+a-$\frac{1}{4}$=0，即a=$\frac{5}{4}$時(shí)，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$=1，此時(shí)y=h（x）有三個(gè)零點(diǎn)；
若f（1）=-1+a-$\frac{1}{4}$＞0，即a＞$\frac{5}{4}$時(shí)，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＞1，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，①$a＜\frac{3}{4}$或a$＞\frac{5}{4}$時(shí)，y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
②a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{5}{4}$時(shí)，y=h（x）有三個(gè)零點(diǎn)；
③$\frac{3}{4}＜a＜\frac{5}{4}$時(shí)，y=h（x）有四個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，訓(xùn)練了函數(shù)兩點(diǎn)的判定方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，題目設(shè)置難度較大．