Question

已知關(guān)于x的二次方程x²+2mx-m+2=0（m∈R）．
（1）若方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根，求m的取值范圍；
（2）若不等式x²+2mx-m+2＞0對(duì)-1≤x≤1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得不等式組，解出即可；（2）通過(guò)討論m的范圍，從而得出y的最小值，從而得出m的范圍．

解答： 解：（1）令f（x）=x²+2mx-m+2，已知f（x）為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，
要使得x²+2mx-m+2=0有兩個(gè)大于1的實(shí)根，
則應(yīng)滿(mǎn)足

△≥0 f(1)＞0 對(duì)稱(chēng)軸x=-m＞1

⇒

m≥1或m≤-2 m＞-3 m＜-1

⇒-3＜m≤-2；
（2）令y=x²+2mx-m+2，要使得x²+2mx-m+2＞0，對(duì)于x∈[-1，1]恒成立，
則⇒y_min＞0，其中x∈[-1，1]，
又∵y=（x+m）²-m+2-m²，
①當(dāng)-m∈[-1，1]，即-1≤m≤1，y_min=-m+2-m²＞0⇒-2＜m＜1，
從而有-1≤m＜1，
②當(dāng)-m＞1時(shí)，即m＜-1時(shí)，
則當(dāng)x=1時(shí)，y_min=1+2m-m+2＞0⇒m＞-3，
從而有-3＜m＜-1，
③當(dāng)-m＜-1時(shí)，即m＞1時(shí)，
y_min=1-2m-m+2＞0⇒m＜1，
從而有m∈∅，
綜上得：實(shí)數(shù)m的范圍是：-3＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．