Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xsinφ+

1+cos2x

2

cosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜x＜π），其圖象過點(diǎn)（

π

6

，

1

2

）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）把已知的函數(shù)解析式化簡變形，然后由函數(shù)圖象過點(diǎn)（

π

6

，

1

2

）列式求得φ值；
（Ⅱ）首先利用函數(shù)圖象的平移得到函數(shù)y=g（x）的解析式，然后根據(jù)x∈[0，

π

4

]求得相位的范圍，則g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)圖象過點(diǎn)（

π

6

，

1

2

），
∴有

1

2

=

1

2

sin2×

π

6

sinφ+cos2

π

6

cosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），
有1=

3

2

sinφ+

3

2

cosφ-cosφ=sin(φ+

π

6

)，
∴φ+

π

6

=

π

2

，解得φ=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知φ=

π

3

，
∴f（x）=

3

4

sin2x+

1

2

×

1+cos2x

2

-

1

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)，
∴g（x）=

1

2

sin(4x+

π

6

)，
∵x∈[0，

π

4

]，
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴當(dāng)4x+

π

6

=

π

2

時，g（x）取最大值

1

2

；
當(dāng)4x+

π

6

=

7π

6

時，g（x）取最小值-

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是φ的求解，考查了三角函數(shù)值域的求法，是中檔題．