Question

14．已知橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其下焦點F₁與拋物線x²=-4y的焦點重合，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）求過點O、F₁（其中O為坐標原點），且與直線y=-$\frac{{a}^{2}}{c}$（其中c為橢圓半焦距）相切的圓的方程；
（3）求$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$時，直線l的方程，并求當斜率大于0時的直線l被（2）中的圓（圓心在第四象限）所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）拋物線x²=-4y的焦點為（0，-1），可得c=1．又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）直線y=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-2．線段OF₁的中點$（0，-\frac{1}{2}）$，可設(shè)圓心$（m，-\frac{1}{2}）$，r=-$\frac{1}{2}$-（-2）=$\frac{3}{2}$，利用$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，解得m，即可得出要求的圓的方程．
（3）F₂（0，1），直線l的斜率不存在時，A（0，$\sqrt{2}$），B$（0，-\sqrt{2}）$，不滿足$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，舍去．因此直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（2+k²）x²-2kx-1=0，利用$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，及其根與系數(shù)的關(guān)系解出k，求出圓心到直線l的距離d，即可得出斜率大于0時的直線l被（2）中的圓（圓心在第四象限）所截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-t8t8mhd^{2}}$．

解答 解：（1）拋物線x²=-4y的焦點為（0，-1），∴c=1．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=1，a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）直線y=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-2．
線段OF₁的中點$（0，-\frac{1}{2}）$，可設(shè)圓心$（m，-\frac{1}{2}）$，r=-$\frac{1}{2}$-（-2）=$\frac{3}{2}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，解得m=$±\sqrt{2}$．
∴要求的圓的方程為：$（x±\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{9}{4}$．
（3）F₂（0，1），直線l的斜率不存在時，A（0，$\sqrt{2}$），B$（0，-\sqrt{2}）$，不滿足$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，舍去．
因此直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（2+k²）x²-2kx-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-1}{2+{k}^{2}}$．
（y₁-1）（y₂-1）=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4．
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=$\frac{5}{4}$，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$\frac{5}{4}$，
∴（1+k²）×$\frac{-1}{2+{k}^{2}}$-2k×$\frac{2k}{2+{k}^{2}}$+4=$\frac{5}{4}$，
化為：k²=2，解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直線l的方程為：$y=±\sqrt{2}$x-1．
取直線l：y=$\sqrt{2}$x-1，圓的方程為：$（x-\sqrt{2}）^{2}$+y²=$\frac{9}{4}$．
圓心到直線l的距離d=$\frac{|2-1|}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴斜率大于0時的直線l被（2）中的圓（圓心在第四象限）所截得的弦長=2$\sqrt{\frac{9}{4}-（\frac{1}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{69}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、弦長公式、直線與圓的位置關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題