Question

3．對于函數(shù)f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長，則稱f（x）為”可構造三角形函數(shù)“，已知函數(shù)f（x）=$\frac{2tanx+t}{tanx+1}$（0＜x＜$\frac{π}{2}$）是“可構造三角形函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． [1，4]
• B． [1，2]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)“可構造三角形函數(shù)”的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉化為f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由t-2的符號決定，利用分式的性質(zhì)討論函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2tanx+t}{tanx+1}$=$\frac{2（tanx+1）+t-2}{tanx+1}$=2+$\frac{t-2}{tanx+1}$，
①若t=2，則f（x）=2，此時f（x）構成邊長為2的等邊三角形，滿足條件，
設m=tanx，則m=tanx＞0，
則函數(shù)f（x）等價為g（m）=2+$\frac{t-2}{m+1}$，
②若t-2＞0即t＞2，此時函數(shù)g（m）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
則2＜f（a）＜2+t-2=t，
同理2＜f（b）＜t，2＜f（c）＜t，
則4＜f（a）+f（b）＜2t，2＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 4≥t，解得2＜t≤4．
③當t-2＜0，f（x）在R上是增函數(shù)，t＜f（a）＜2，
同理t＜f（b）＜2，t＜f（c）＜2，
則2t＜f（a）+f（b）＜4，t＜f（c）＜2，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥2，解得1≤t＜2．
綜上可得，1≤t≤4，
故實數(shù)t的取值范圍是[1，4]；
故選：A

點評 本題主要考查了求參數(shù)的取值范圍，以及構成三角形的條件和利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時考查了分類討論的思想，綜合性較強，難度較大．