Question

【題目】函數(shù)，曲線在點處的切線在軸上的截距為．

（1）求；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）設(shè)，證明：．

Answer 1

【答案】(1) (2) 在上單調(diào)遞增．(3)證明見解析

【解析】

（1）由題意知切點坐標為，切線方程為：，結(jié)合條件列方程即可得到結(jié)果；

（2）由（1）知，對求導(dǎo)，得，從而可知在上的單調(diào)性；

（3）欲證，即證．只需證．不妨設(shè)，由此可得．因此，欲證，只需證．

（1）由題意知切點坐標為．

對求導(dǎo)，得，從而．

所以切線方程為，令，得，解得．

（2）由（1）知，從而，對求導(dǎo)，得

，從而可知在上單調(diào)遞增．

（3）（方法一）

由（1）知，故單調(diào)遞減，

由（2）知單調(diào)遞增，

當時， ， .

當時， ， .

故 ，所以

.

因為 所以

（方法二）令，解得．

從而，作商，得，

所以，從而．

所以．

當為偶數(shù)時，；

當為奇數(shù)時，．

故無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，．

下只需證明．

當時，有，滿足題意；

當時，．

故只需證，即證．

而當時，．

故不等式得證．

（方法三）要證，只需證，

只需證．易知在上單調(diào)遞減，且．

若，則．

此時，，只需證，

只需證．此時，．

由（2）知．

若，則．

此時，，只需證．

只需證．此時，．

由（2）知，．

綜上所述，成立．

所以，．

易知，，所以成立．

故原不等式得證．