Question

已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；
（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）可求得直線l的方程及直線l在y軸上的截距，依題意，

k≥0 1+2k≥0

從而可解得k的取值范圍；
（2）依題意可求得A（-

1+2k

k

，0），B（0，1+2k），S=

1

2

（4k+

1

k

+4），利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：（1）直線l的方程可化為：y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1，
要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則

k≥0 1+2k≥0

，解得k的取值范圍是：k≥0…（5分）
（2）依題意，直線l在x軸上的截距為：-

1+2k

k

，在y軸上的截距為1+2k，
∴A（-

1+2k

k

，0），B（0，1+2k），又-

1+2k

k

＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×

1+2k

k

（1+2k）=

1

2

（4k+

1

k

+4）≥

1

2

（4+4）=4，當(dāng)且僅當(dāng)4k=

1

k

，即k=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x-2y+4=0…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒過(guò)定點(diǎn)的直線，考查直線的一般式方程，考查直線的截距及三角形的面積，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．