Question

7．已知函數(shù)$f（x）=x-mlnx-\frac{m-1}{x}（{m∈R}）$，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+{e^x}-x{e^x}$，
（1）當(dāng)x∈[1，e]，求f（x）的最小值，
（2）當(dāng)m≤2時(shí)，若存在${x_1}∈[{e，{e^2}}]$，使得對(duì)任意x₂∈[-2，0]，f（x₁）≤g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過當(dāng)m≤2時(shí)，當(dāng)m≥e+1時(shí)，當(dāng)2＜m＜e+1時(shí)，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最小值．
（2）已知條件等價(jià)于f（x₁）_min≤g（x₂）_min，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，然后推出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 （1）$f（x）=x-mlnx-\frac{m-1}{x}（{x＞0}）$，∴$f'（x）=1-\frac{m}{x}+\frac{m-1}{x^2}=\frac{{（{x-1}）[{x-（{m-1}）}]}}{x^2}$，
當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）在x∈[1，e]上f'（x）≥0，f（x）_min=f（1）=2-m，
當(dāng)m≥e+1時(shí)，f（x）在[1，e]上f'（x）≤0，$f{（x）_{min}}=f（e）=e-m-\frac{m-1}{e}$，
當(dāng)2＜m＜e+1時(shí)，f（x）在x∈[1，m-1]上f'（x）≤0，x∈[m-1，e]上f'（x）≥0，f（x）_min=f（m-1）=m-2-mln（m-1），
（2）已知等價(jià)于f（x₁）_min≤g（x₂）_min，
由（1）知m≤2時(shí)f（x）在x∈[e，e²]上$f'（x）≥0，f{（x）_{min}}=f（e）=e-m-\frac{m-1}{e}$，
而g'（x）=x+e^x-（x+1）e^x=x（1-e^x），
當(dāng)x₂∈[-2，0]，g'（x₂）≤0，g（x₂）_min=g（0）=1，
所以$m≤2，e-m-\frac{m-1}{e}≤1$，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[{\frac{{{e^2}-e+1}}{e+1}，2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．