【題目】如圖1,在等腰梯形中,分別為的中點(diǎn).現(xiàn)分別沿將和折起,使得平面平面,平面平面,連接,如圖2.
(1)求證:平面平面;
(2)求多面體的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)在中,由三角形的中位線,證得平面,再利用線面垂直關(guān)系,證得
平面,最后利用面面平行的判定定理,即可得到平面平面.
(2)連接,作于,由(1)知,得到點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離,利用體積公式,即可求解.
(1)在中,點(diǎn)和分別是和的中點(diǎn),則,
又平面,所以平面
依題意有均為邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以,
又平面平面,則平面,
又平面平面,所以平面.
又平面平面,
所以平面平面.
(2)如圖所示,連接,作于,
由(1)知,平面,
則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,等于點(diǎn)到平面距離的,
即.
則.
所以多面體的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并求出曲線與公共弦所在直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線與曲線交于兩點(diǎn),與曲線交于點(diǎn),且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)座位,在甲同學(xué)不坐2號(hào)座位,乙同學(xué)不坐5號(hào)座位的條件下,甲、乙兩位同學(xué)的座位號(hào)相加是偶數(shù)的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形,,與交于點(diǎn),平面平面,,,.
(1)求證:平面;
(2)若為等邊三角形,點(diǎn)為的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一塊地皮,其中, 是直線段,曲線段是拋物線的一部分,且點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn), 所在的直線是該拋物線的對(duì)稱軸.經(jīng)測(cè)量, km, km, .現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個(gè)矩形來建造草坪,其中點(diǎn)在曲線段上,點(diǎn), 在直線段上,點(diǎn)在直線段上,設(shè)km,矩形草坪的面積為km2.
(1)求,并寫出定義域;
(2)當(dāng)為多少時(shí),矩形草坪的面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店為了了解銷售單價(jià)(單位:元)在]內(nèi)的圖書銷售情況,從2018年上半年已經(jīng)銷售的圖書中隨機(jī)抽取100本,獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷售單價(jià)在內(nèi)的圖書數(shù)是銷售單價(jià)在內(nèi)的圖書數(shù)的2倍.
(1)求出與,再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書銷售單價(jià)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)用分層抽樣的方法從銷售單價(jià)在[8,20]內(nèi)的圖書中共抽取40本,求單價(jià)在6組樣本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量;
(3)從(2)中抽取且價(jià)格低于12元的書中任取2本,求這2本書價(jià)格都不低于10元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(2)在(1)成立的條件下,正實(shí)數(shù),滿足,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式在上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,記作,);
(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)若使的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值高于企業(yè)制定的合格標(biāo)準(zhǔn),則合格標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量指標(biāo)值大約為多少?
(ii)若該企業(yè)又生產(chǎn)了這種產(chǎn)品件,且每件產(chǎn)品相互獨(dú)立,則這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值不低于的件數(shù)最有可能是多少?
附:參考數(shù)據(jù)與公式:,;若,則①;②;③.
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