Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)的極值點；

(Ⅱ)若直線過點且與曲線相切，求直線的方程；

(Ⅲ)設函數(shù)求函數(shù)在上的最小值.( )

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 是函數(shù)的極小值點，極大值點不存在.  (Ⅱ)  

(Ⅲ) 當時，的最小值為0；當1＜a＜2時，的最小值為；

當時，的最小值為 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）＞0                 ………1分

而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 .        …………3分

所以是函數(shù)的極小值點，極大值點不存在.           …………………4分

（Ⅱ）設切點坐標為，則切線的斜率為

所以切線的方程為                 …………5分

又切線過點，所以有

解得所以直線的方程為                      ………6分

（Ⅲ），則 ＜0＜00＜＜＞0＞所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.                                                        ………………8分

當即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為                                                          ……9分

當1＜＜e，即1＜a＜2時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

在上的最小值為                      ………11分

當即時，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值為                        ……12分

綜上，當時，的最小值為0；當1＜a＜2時，的最小值為；

當時，的最小值為                             ………14分

考點：函數(shù)的極值；導數(shù)的幾何意義；曲線切線方程的求法；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值。

點評：此題的第三問體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想。此題以函數(shù)的極值點是否在區(qū)間內(nèi)為標準進行分類討論。我們在分類討論時思路一定要清晰，并且要做到不重不漏。