在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且
(I)求證:EF∥平面BDC1;
(II)求二面角E-BC1-D的余弦值
(I)詳見(jiàn)解析;(II)二面角E-BC1-D的余弦值為
解析試題分析:(I)由于EF與BD在同一個(gè)平面內(nèi),顯然考慮在ABB1A1這個(gè)平面內(nèi)證明這兩條直線平行,這完全就是平面幾何的問(wèn)題了 取AB的中點(diǎn)M,,所以F為AM的中點(diǎn),又因?yàn)镋為的中點(diǎn),所以 又分別為的中點(diǎn),,且,所以四邊形為平行四邊形,,,由此可得平面
(II)取AB的中點(diǎn)M,則MB、MC、MD兩兩垂直,所以可以以M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求二面角E-BC1-D的余弦值
試題解析:(I)證明:取AB的中點(diǎn)M,
,所以F為AM的中點(diǎn),又因?yàn)镋為的中點(diǎn),所以
在三棱柱中,分別為的中點(diǎn),
,且,
所以四邊形為平行四邊形,,
,又平面,平面,
所以平面
(II)以AB的中點(diǎn)M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
則,,,,
∴,,
設(shè)面BC1D的一個(gè)法向量為,面BC1E的一個(gè)法向量為,
則由得取,
又由得取,
則,
故二面角E-BC1-D的余弦值為 12分
考點(diǎn):1、空間直線與平面的位置關(guān)系;2、空間向量的應(yīng)用;3、二面角
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,平面平面,,.設(shè),分別為,中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn),使得過(guò)三點(diǎn) ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行?若存在,指出點(diǎn)的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA面ABEF,且DA=1,AB//EF,,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn).
求證:(I)PQ//平面BCE;
(II)求證:AM平面ADF;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖①,△BCD內(nèi)接于直角梯形,A1D∥A2A3,A1A2⊥A2A3,A1D=10,A1A2=8,沿△BCD三邊將△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去,恰好形成一個(gè)三棱錐ABCD,如圖②.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)求直線BD和平面ACD所成的角的正切值;
(3)求四面體的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為正方形,PA平面ABCD,且AD= 2PA,E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn).
(I)求證:BC∥平面EFG;
(II)求證:DH平面AEG.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖是一個(gè)斜三棱柱,已知、平面平面、、,又、分別是、的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面; (2)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖1,在直角梯形中,,,,. 把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上,連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)證明:AC⊥B1D;
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
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