Question

5．如圖所示，已知圓A的圓心在直線y=-2x上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，又圓A與直線l₁：x+2y+7=0相切，過點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l₁相交于點(diǎn)P．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)$|{MN}|=2\sqrt{19}$時(shí)，求直線l的方程；
（3）（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓A的半徑，根據(jù)以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線l₁：x+2y+7=0相切．點(diǎn)到直線的距離等于半徑，我們可以求出圓的半徑，進(jìn)而得到圓的方程；
（2）根據(jù)半弦長，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們可以結(jié)合直線l過點(diǎn)B（-2，0），求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線l的方程；
（3）由直線l過點(diǎn)B（-2，0），我們可分直線的斜率存在和不存在兩種情況，分別討論（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$是否為定值，綜合討論結(jié)果，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱知圓心A在直線x+y-1=0上，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{x+y-1=0}\end{array}}\right.$得A（-1，2），
設(shè)圓A的半徑為R，因?yàn)閳AA與直線l₁：x+2y+7=0相切，
∴$R=\frac{{|{-1+4+7}|}}{{\sqrt{5}}}=2\sqrt{5}$，
∴圓A的方程為（x+1）²+（y-2）²=20，
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-2符合題意，
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
即kx-y+2k=0連接AQ，則AQ⊥MN，
∵$|{MN}|=2\sqrt{19}$，∴$|{AQ}|=\sqrt{20-19}=1$，
由$|{AQ}|=\frac{{|{k-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得$k=\frac{3}{4}$，
∴直線l的方程為3x-4y+6=0，
∴所求直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0，
（3）∵AQ⊥BP，∴$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
∴（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=2（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ}$）•$\overrightarrow{BP}$=2（$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BP}$）=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$，
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得$P[{-2，-\frac{5}{2}}]$，則$\overrightarrow{BP}$=（0，$\frac{5}{2}$），又$\overrightarrow{BA}$=（1，2），
∴（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{x+2y+7=0}\end{array}}\right.$，解得$P[{\frac{-4k-7}{1+2k}，\frac{-5k}{1+2k}}]$，∴$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{-5}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
∴（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=2（$\frac{-5}{1+2k}$+$\frac{-5k}{1+2k}$）=-10
綜上所述，（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$是定值，且為-10

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中（1）的關(guān)鍵是求出圓的半徑，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)半弦長，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出弦心距（即圓心到直線的距離），（3）中要注意討論斜率不存在的情況，這也是解答直線過定點(diǎn)類問題的易忽略點(diǎn)．