Question

1．在平行四邊形ABCD中，已知$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，E、F分別是邊CD和BC上的點，滿足$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BF}$．
（Ⅰ）分別用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R，求出λ+μ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)E、F分別是邊CD和BC上的點，滿足$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BF}$，即可用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R，則λ（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）+μ（$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$）=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow$，根據(jù)平面向量基本定理，即可求出λ+μ的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$，則λ（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）+μ（$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$）=$\overrightarrow a$+$\overrightarrow$，
∴$（\frac{λ}{3}+μ）\overrightarrow a+（λ+\frac{μ}{3}）\overrightarrow b=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，
∵$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$不共線，∴$\left\{\begin{array}{l}（\frac{λ}{3}+μ）=1\\（λ+\frac{μ}{3}）=1\end{array}\right.$，解得：$λ+μ=\frac{3}{2}$

點評 本題考查平面向量知識，考查平面向量基本定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．