Question

已知

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

3

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x-θ）（-

π

4

＜θ＜

π

4

）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，試求θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由數(shù)量積和三角函數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x-

π

3

），由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

解不等式可得；（2）可得g（x）=2sin（2x+2θ-

π

3

），由題意可得當(dāng)x=0時(shí)，|g（x）|=2，可得2θ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），解得θ結(jié)合范圍可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），
∴f（x）=

a

•

b

-

3

=2sinxcosx+2

3

sin²x-

3

=sin2x+

3

（1-cos2x）-

3

=2sin（2x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（2）∴g（x）=f（x-θ）=2sin（2x+2θ-

π

3

），
由題意可得當(dāng)x=0時(shí)，|g（x）|=2，即2sin（2θ-

π

3

）=±2，
∴2θ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），解得θ=

kπ

2

+

5π

12

（k∈Z）
∵-

π

4

＜θ＜

π

4

，∴θ=-

π

12

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．