Question

如圖所示，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AC、BD，交于O，連結(jié)OE，由已知得OE∥AP，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)AC、BD，交于O，連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥AP，
∵AP不包含于平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵四邊形ABCD是正方形，PD=DC，設(shè)PD=DC=2，
∴B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），

DE

=（0，1，1），

DB

=（2，2，0），
則

n • DE =y+z=0 n • DB =2x+2y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，1），
又平面DEC的法向量

m

=（1，0，0），
設(shè)二面角B-DE-C的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

．
∴二面角B-DE-C的平面角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．