15.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+$\frac{π}{3}$)•cosx.
(1)若0≤x≤$\frac{π}{2}$,求函數(shù)f(x)的值域;
(2)設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A為銳角且f(A)=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,b=2,c=3,求cos(A-B)的值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f(x),根據(jù)x的取值范圍即可求出函數(shù)f(x)的值域;
(2)由f(A)的值求出角A的大小,再利用余弦定理和正弦定理,即可求出cos(A-B)的值.

解答 解:(1)f(x)=2sin(x+$\frac{π}{3}$)•cosx
=(sinx+$\sqrt{3}$cosx)•cosx
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin(2x+$\frac{π}{3}$)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$;…(2分)
由$0≤x≤\frac{π}{2}$得,$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$,
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin(2x+\frac{π}{3})≤1$,…(4分)
∴$0≤sin(2x+\frac{π}{3})+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?[0,\;1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$;…(6分)
(2)由$f(A)=sin(2A+\frac{π}{3})+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
得$sin(2A+\frac{π}{3})=0$,
又由$0<A<\frac{π}{2}$,∴$\frac{π}{3}<2A+\frac{π}{3}<\frac{4π}{3}$,
∴$2A+\frac{π}{3}=π$,解得$A=\frac{π}{3}$;…(8分)
在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=7,
解得$a=\sqrt{7}$;…(10分)
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$,得$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$,…(12分)
∵b<a,∴B<A,∴$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$,
∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
=$\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{7}}}{7}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{21}}}{7}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$.…(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換以及正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目.

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