Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2ax+3，
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）可以利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與已知區(qū)間[-2，3]進(jìn)行比較，得到參數(shù)a的取值范圍，得到本題結(jié)論；（2）考慮二次函數(shù)f（x）對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類討論研究二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]的最小值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+3的對稱軸為x=a，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減；在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞增．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]是單調(diào)函數(shù)，
∴a≥3或a≤-2．
（2）①當(dāng)a＜-2時，
∵f（x）在區(qū)間[-2，3]是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（-2）=4a+7；
②當(dāng)-2≤a＜3時，
∵f（x）在區(qū)間[-2，a]是單調(diào)遞減函數(shù)，
f（x）在區(qū)間[a，3]是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（a）=3-a²；
③當(dāng)a≥3時，
∵f（x）在區(qū)間[-2，3]是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（3）=12-6a．
∴[f(x)]min=

4a+7，a＜-2 3-a2，-2≤a＜3 12-6a，a≥3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．