Question

如果二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c對任意實(shí)數(shù)x都有f（2-x）=f（x）成立，且f（accsin

2

3

）＞f（arccos

3

4

），則a-2014b的符號是（　　）

• A、大于零
• B、小于零
• C、等于零
• D、不能確定

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：本題可以先利用f（2-x）=f（x）得到參數(shù)a、b的一個(gè)相等關(guān)系，再利用f（accsin

2

3

）＞f（arccos

3

4

）得到a、b的取值范圍，然后研究a-2014b，得到值的正負(fù)，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c對任意實(shí)數(shù)x都有f（2-x）=f（x）成立，
∴f（1+x）=f[2-（1+x）]=f（1-x），
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=1．
∴-

b

2a

=1，即b=-2a．
則有：a-2014b=a+4028a=4029a．
記accsin

2

3

=α，arcccos

3

4

=β，
則有sinα=

2

3

，cosβ=

3

4

，且α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)
∴sinβ=

7

4

．
∵

2

3

＞

7

4

，
∴α＞β，即accsin

2

3

＞arcccos

3

4

，
∵sin1≈0.8414，0.8414＞

2

3

，
∴1＞α＞β．
∵f（accsin

2

3

）＞f（arccos

3

4

），即f（α）＞f（β），
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴a＞0．
∴a-2014b=a+4028a=4029a＞0．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的對稱軸、單調(diào)性，反三角函數(shù)值的比較，本題難度適中，有一定的綜合性，屬于中檔題．