Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$（b_n-1），（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，且數(shù)列{a_n}的公差d＞0，可得a₂=3，a₅=9，公差$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$，即可得出a_n．利用數(shù)列遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式可得b_n．
（2）由（1）知 ${c_n}={a_n}{b_n}=（2n-1）•{3^n}$，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，且數(shù)列{a_n}的公差d＞0，
∴a₂=3，a₅=9，公差$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$
∴a_n=a₂+（n-2）d=2n-1…（3分）
又當n=1時，有${b_1}={S_1}=\frac{3}{2}（{b_1}-1）$，∴b₁=3
當$n≥2時，有{b_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}（{b_n}-{b_{n-1}}）$，∴b_n=3b_n-1
又b₁=3≠0∴數(shù)列{b_n}是首項b₁=3，公比q=3的等比數(shù)列，
∴${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={3^n}$…（6分）
（2）由（1）知 ${c_n}={a_n}{b_n}=（2n-1）•{3^n}$…（7分）
∵${T_n}=3+3•{3^2}+5•{3^3}+…+（2n-3）•{3^{n-1}}+（2n-1）•{3^n}$（1）∴$3{T_n}={3^2}+3•{3^3}+…+（2n-5）•{3^{n-1}}+（2n-3）•{3^n}+（2n-1）•{3^{n+1}}$（2）…（9分）
（1）-（2）：∴$-2{T_n}=3+2（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）-（2n-1）•{3^{n+1}}$=$3-（2n-1）•{3^{n+1}}+2•\frac{{{3^2}（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}$
=3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹-（3²-3ⁿ⁺¹）=-6+（2-2n）•3ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=3+（n-1）•{3^{n+1}}$．（12分）

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．