Question

若對(duì)任意n∈N⁺，關(guān)于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0在（-∞，λ]上恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：關(guān)于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，等價(jià)于x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ_max對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立．

解答： 解：關(guān)于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
等價(jià)于x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ_max對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
∴x²+

1

2

x≥

1

2

對(duì) x∈（-∞，λ]恒成立．
設(shè)y=x²+

1

2

x，它的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-

1

4

的拋物線，
∴當(dāng)x≤-

1

4

時(shí)，左邊是單調(diào)減的，所以要使不等式恒成立，則λ²+

1

2

λ≥

1

2

，
解得λ≤-1，或λ≥

1

2

（舍）
當(dāng)x＞-

1

4

，左邊的最小值就是在x=-

1

4

時(shí)取到，
達(dá)到最小值時(shí)，x²+

1

2

x，=-

1

16

，不滿足不等式．
因此λ的范圍就是 λ≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．