Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^2x-1，直線l過點（0，-e）且與曲線y=f（x）相切，則切點的橫坐標為（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． 2
• D． e^-1

Answer 1

分析 設(shè)出切點坐標，求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到曲線在切點處的切線方程，把點（0，-e）代入，利用函數(shù)零點的判定求得切點橫坐標．

解答 解：由f（x）=e^2x-1，得f′（x）=2e^2x-1，
設(shè)切點為（${x}_{0}，{e}^{2{x}_{0}-1}$），則f′（x₀）=$2{e}^{2{x}_{0}-1}$，
∴曲線y=f（x）在切點處的切線方程為y-${e}^{2{x}_{0}-1}$=$2{e}^{2{x}_{0}-1}$（x-x₀）．
把點（0，-e）代入，得-e-${e}^{2{x}_{0}-1}$=-$2{x}_{0}•{e}^{2{x}_{0}-1}$，
即${e}^{2{x}_{0}-1}•（2{x}_{0}-1）=e$，兩邊取對數(shù)，得（2x₀-1）+ln（2x₀-1）-1=0．
令g（x）=（2x-1）+ln（2x-1）-1，
函數(shù)g（x）為（$\frac{1}{2}$，+∞）上的增函數(shù)，又g（1）=0，
∴x=1，即x₀=1．
故選：A．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查函數(shù)零點的判定及應(yīng)用，是中檔題．