Question

1．已知a＞0，b∈R，函數f（x）=4ax²-2bx-a+b，x∈[0，1]．
（Ⅰ）當a=b=2時，求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：函數f（x）的最大值|2a-b|+a；
（Ⅲ）證明：f（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當a=b=2時，f（x）的解析式，求出對稱軸，求得端點的函數值，可得f（x）的最大值；
（Ⅱ）求出對稱軸，討論區(qū)間和對稱軸的關系，結合單調性，可得最大值；
（Ⅲ）要證f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立，只需證f（x）_min+|2a-b|+a≥0，設f（x）的最小值為m，最大值為M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a，求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關系，可得最值，即可證明M+m＞0．

解答 解：（Ⅰ）當a=b=2時，f（x）=8x²-4x，x∈[0，1]．
對稱軸為x=$\frac{1}{4}$，f（0）=0，f（1）=4，
可得f（x）的最大值為4；
（Ⅱ）證明：f（x）的對稱軸為x=$\frac{4a}$，
當$\frac{4a}$＞1時，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，
可得f（x）的最大值為f（0）=b-a，
由b＞4a＞2a，可得|2a-b|+a=b-2a+a=b-a，
則f（0）=|2a-b|+a；
當$\frac{4a}$＜0時，區(qū)間[0，1]為增區(qū)間，
可得最大值為f（1）=3a-b，
由b＜0，可得|2a-b|+a=2a-b+a=3a-b=f（1）；
當0≤$\frac{4a}$≤1時，區(qū)間[0，$\frac{4a}$]為減區(qū)間，[$\frac{4a}$，1]為增區(qū)間，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值為f（1）=3a-b=|2a-b|+a；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值為f（0）=b-a=|2a-b|+a．
綜上可得函數f（x）的最大值|2a-b|+a；
（Ⅲ）證明：要證f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立，
只需證f（x）_min+|2a-b|+a≥0，
設f（x）的最小值為m，最大值為M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a，
由f（x）的對稱軸為x=$\frac{4a}$，
當$\frac{4a}$＞1時，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，可得m=f（1）=3a-b，
則M+m=b-2a+a+3a-b=2a＞0；
當$\frac{4a}$＜0時，區(qū)間[0，1]為增區(qū)間，可得m=f（0）=b-a，
M=f（1）=3a-b，則M+m=2a＞0；
當0≤$\frac{4a}$≤1時，區(qū)間[0，$\frac{4a}$]為減區(qū)間，[$\frac{4a}$，1]為增區(qū)間，
可得m=f（$\frac{4a}$）=$\frac{4ab-4{a}^{2}-^{2}}{4a}$，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a-b，
M+m=$\frac{8{a}^{2}-^{2}}{4a}$≥$\frac{8{a}^{2}-4{a}^{2}}{4a}$=a＞0；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b-a，
M+m=$\frac{8ab-8{a}^{2}-^{2}}{4a}$=$\frac{-（b-4a）^{2}+8{a}^{2}}{4a}$，
由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即為M+m＞0．
綜上可得M+m＞0恒成立，
即有f（x）+|2a-b|+a≥0．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關系，考查運算能力，屬于中檔題．