Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．
（1）求證：D₁F⊥平面ADE；
（2）若AB=1，求三棱錐D₁-DEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明D₁F⊥AE，AD⊥D₁F，即可證明D₁F⊥平面ADE；
（2）利用V_D1-DEF=V_E-D1DF，即可求三棱錐D₁-DEF的體積．

解答： （1）證明：取AB中點G，連接A₁G，F(xiàn)G．
因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F．
因為△A₁AG≌△ABE，所以A₁G⊥AE，
所以D₁F⊥AE．
因為AC₁是正方體，
所以AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，
所以AD⊥D₁F．
因為AD∩AE=A，
所以D₁F⊥平面ADE；
（2）解：因為AB=1，BC⊥平面D₁DF，
所以轉(zhuǎn)換底面，三棱錐D₁-DEF的體積可轉(zhuǎn)換為以△D₁DF為底面，BC為高的三棱錐，其中DD₁=BC=1，DF=

1

2

所以可得V_D1-DEF=V_E-D1DF=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×1=

1

12

．

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐D₁-DEF的體積考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．