Question

20．已知$\overrightarrow{OP}$=（2，1），$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1）．設(shè)M是直線OP上的一點（其中O為坐標原點），當$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值時：
（1）求$\overrightarrow{OM}$；      
（2）設(shè)∠AMB=θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OP}$，利用向量的坐標表示求出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$，計算$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取得最小值時t的值即可；
（2）由平面向量的數(shù)量積求夾角的余弦值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OP}$，t∈R，---（2分）
則$\overrightarrow{OM}$=（2t，t），
$\overrightarrow{MA}$=（1-2t，7-t），
$\overrightarrow{MB}$=（5-2t，1-t）；
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=5t²-20t+12=5（t-2）²-8，---（4分）
∴當t=2時，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$最小，這時$\overrightarrow{OM}$=（4，2）；---（6分）
（2）由$\overrightarrow{MA}$=（-3，5），$\overrightarrow{MB}$=（1，-1），---（8分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}|×|\overrightarrow{MB}|}$=$\frac{-3×1+5×（-1）}{\sqrt{{（-3）}^{2}{+5}^{2}}×\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴cosθ的值是$-\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．---（12分）

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應用問題，也考查了向量共線的應用問題，是基礎(chǔ)題目．