Question

9．設(shè)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)不等式（ax+3）（x²-b）≤0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，則a²b=9．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷求解即可．

解答 解：∵（ax+3）（x²-b）≤0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴當(dāng)x=0時(shí)，不等式等價(jià)為-3b≤0，即b≥0，
當(dāng)x→+∞時(shí)，x²-b＞0，此時(shí)ax+3＜0，則a＜0，
設(shè)f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，
若b=0，則g（x）=x²＞0，
函數(shù)f（x）=ax+3的零點(diǎn)為x=-$\frac{3}{a}$，則函數(shù)f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，此時(shí)不滿足條件；
若a=0，則f（x）=3＞0，而此時(shí)x→+∞時(shí)，g（x）＞0不滿足條件，故b＞0；
∵函數(shù)f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，則（-$\frac{3}{a}$，+∞））上f（x）＜0，
而g（x）在（0，+∞）上的零點(diǎn)為x=$\sqrt$，且g（x）在（0，$\sqrt$）上g（x）＜0，
則（$\sqrt$，+∞）上g（x）＞0，
∴要使（ax+3）（x²-b）≤0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，
則函數(shù)f（x）與g（x）的零點(diǎn)相同，即-$\frac{3}{a}$=$\sqrt$，
∴a²b=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式恒成立以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)相同，是較難的題目．