Question

10．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，PA=2，已知此三棱錐外接球恰為一正方體的內切球，則該正方體的體積為16$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出棱錐的直觀圖，根據棱錐的結構特征求出外接球的半徑，即正方體邊長的一半，得出正方體的邊長，求出體積．

解答 解：設三棱錐P-ABC的外接球球心為O，取BC中點D，連結OD，∵AB⊥BC，∴D是△ABC外心，∴OD⊥平面ABC，
∵PA⊥平面ABC，∴OD=$\frac{1}{2}$PA=1，
∵AB=BC=$\sqrt{2}$，AB⊥BC，∴BC=2，CD=$\frac{1}{2}BC$=1，∴OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$．即球O的半徑r=$\sqrt{2}$．
設正方體邊長為a，則a=2r=2$\sqrt{2}$．∴正方體的體積V=a³=16$\sqrt{2}$．
故答案為16$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了球與多面體的位置關系，求出球的半徑是解題關鍵．屬于中檔題．