Question

20．橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，弦AB過F₁，若△ABF₂的內(nèi)切圓周長為4，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則|y₂-y₁|的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\frac{20}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義，通過三角形的面積轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：橢圓：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦點(diǎn)F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
△ABF₂的內(nèi)切圓面積為π，則內(nèi)切圓的半徑為r=$\frac{1}{2}$，
而△ABF₂的面積=△A F₁F₂的面積+△BF1F2的面積=$\frac{1}{2}$×|y₁|×|F₁F₂|+$\frac{1}{2}$×|y₂|×|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x軸的上下兩側(cè)）
又△ABF₂的面積=$\frac{1}{2}$×r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（2a+2a）=a=5．
所以 3|y₂-y₁|=5，|y₂-y₁|=$\frac{5}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用