Question

7．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₁、a₅是關(guān)于x方程x²-6x+5=0的兩個(gè)根．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；   
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由a₁、a₅是關(guān)于x方程x²-6x+5=0的兩個(gè)根．a(chǎn)₁＜a₅．由方程解得a₁，a₅，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．．
（2）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁、a₅是關(guān)于x方程x²-6x+5=0的兩個(gè)根．a(chǎn)₁＜a₅．
由方程解得a₁=1，a₅=5，
∴5=1+4d，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
${S_n}=\frac{n}{n+1}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、一元二次方程的解法，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．