Question

已知中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓C 的離心率為，且經(jīng)過點（－1，），過點P（2，1）的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程以及點M的坐標；
（3）是否存在過點P的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足·=？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：⑴設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），
由題意，得
解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為
⑵因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，
故可設直線l的方程為y=k(x-2)+1.
由，得（3+4k²）x²-8k(2k-1)x+16k²-16ｋ-8=0.①
因為直線l與橢圓相切，所以Δ=［-8k(2k-1)］²-4(3+4k²)（16k²-16k-8）=0.
整理，得32(6k+3)=0，解得k=-.
所以直線l方程為y=-(x-2)+1=-x+2.
將k=-代入①式，可以解得M點的橫坐標為1，
故切點M的坐標為(1，).
⑶若存在直線l₁滿足條件，
設其方程為y=k₁(x-2)+1，代入橢圓C的方程，得(3+4k²₁)x²-8k₁(2k₁-1)x+16k²₁-16k₁-8=0.
因為直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，
設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，
所以Δ=［-8k₁（2k₁-1）］²-4（3+4k²₁）(16k²₁-16k₁-8)=32(6k₁+3)＞0.
所以k₁＞-.x₁+x₂=，x₁x₂=.
因為·=即（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=，
所以（x₁-2）（x₂-2）（1+k²₁）=｜PM｜²=.
即［x₁x₂-2（x₁+x₂）+4］（1+k²₁）=.
所以［-2·+4］（1+k²₁）=，解得k₁=±.    
因為k₁＞-所以k₁=.
于是存在直線l₁滿足條件，
其方程為y=x