Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓C 的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，），過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，滿足·=？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：⑴設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），
由題意，得
解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為
⑵因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，
故可設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+1.
由，得（3+4k²）x²-8k(2k-1)x+16k²-16ｋ-8=0.①
因?yàn)橹本�l與橢圓相切，所以Δ=［-8k(2k-1)］²-4(3+4k²)（16k²-16k-8）=0.
整理，得32(6k+3)=0，解得k=-.
所以直線l方程為y=-(x-2)+1=-x+2.
將k=-代入①式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，).
⑶若存在直線l₁滿足條件，
設(shè)其方程為y=k₁(x-2)+1，代入橢圓C的方程，得(3+4k²₁)x²-8k₁(2k₁-1)x+16k²₁-16k₁-8=0.
因?yàn)橹本�l₁與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，
所以Δ=［-8k₁（2k₁-1）］²-4（3+4k²₁）(16k²₁-16k₁-8)=32(6k₁+3)＞0.
所以k₁＞-.x₁+x₂=，x₁x₂=.
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 26px; HEIGHT: 24px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20121001/20121001171321323275.png">·=即（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=，
所以（x₁-2）（x₂-2）（1+k²₁）=｜PM｜²=.
即［x₁x₂-2（x₁+x₂）+4］（1+k²₁）=.
所以［-2·+4］（1+k²₁）=，解得k₁=±.    
因?yàn)閗₁＞-所以k₁=.
于是存在直線l₁滿足條件，
其方程為y=x