Question

9．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）求直線l與曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）在曲線C上求一點D，使它到直線l的距離最短．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ．把ρ²=x²+y²，代入可得C的直角坐標方程．由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），消去t得直線l的普通方程．
（Ⅱ）由曲線C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）為圓心，1為半徑的圓，點D在曲線C上，可設點D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），利用點到直線的距離公式即可得出點D到直線l的距離d及其最小值．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ．
∴曲線C的普通方程為x²+y²-2y=0，配方為x²+（y-1）²=1，
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），
消去t得直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x+y-5=0．
（Ⅱ）∵曲線C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）為圓心，1為半徑的圓，
∵點D在曲線C上，∴可設點D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），
∴點D到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosφ+sinφ-4|}{2}$=2-sin（φ+$\frac{π}{3}$），
∵φ∈[0，2π），當φ=$\frac{π}{6}$時，d_min=1，
此時D點的坐標為$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．