Question

20．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）經(jīng)過(guò)橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）的左焦點(diǎn)F．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|FA|×|FB|取最小值時(shí)，直線l的傾斜角α．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，可得左焦點(diǎn)F（-c，0），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）化為普通方程：y=（x-m）tanα，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（m，0），可得m．
（2）將直線的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）代入橢圓C的普通方程中整理得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|FA|×|FB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，可得左焦點(diǎn)F（-1，0），
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）化為普通方程：y=（x-m）tanα，
經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（m，0），因此m=-1．
（2）將直線的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠0）
代入橢圓C的普通方程中整理得：（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
設(shè)點(diǎn)A，B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
則|FA|×|FB|=|t₁t₂|=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，當(dāng)sinα=±1時(shí)，|FA|•|FB|取最小值$\frac{9}{4}$，
∵α∈（0，π），∴$α=\frac{π}{2}$．
∴|FA|•|FB|取最小值時(shí)，直線l的傾斜角α=$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．