Question

4．函數f（x）=ln（x+1）-mx在區(qū)間（0，1）恒為增函數，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• D． $（-∞，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 f（x）在（0，1）上為增函數，則x∈（0，1）時，f'（x）=$\frac{1}{x+1}$-m≥0恒成立，即m≤$\frac{1}{x+1}$恒成立，然后再轉化為m$≤（\frac{1}{x+1}）_{min}$．由于$y=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上單調遞減，故$\frac{1}{x+1}＞\frac{1}{2}$，從而m的取值范圍為（-$∞，\frac{1}{2}]$

解答 解：∵f（x）=ln（x+1）-mx在區(qū)間（0，1）恒為增函數，
∴x∈（0，1）時，f'（x）=$\frac{1}{x+1}$-m≥0恒成立，
即x∈（0，1）時，m≤$\frac{1}{x+1}$恒成立，
∵$y=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上單調遞減，
∴$\frac{1}{x+1}$＞$\frac{1}{2}$，
∴$m≤\frac{1}{2}$，即m的取值范圍為（-$∞，\frac{1}{2}]$．
故選C

點評 本題考查函數的單調性與導數的關系，以及將恒成立問題轉化為求函數最值問題，屬于中檔題