Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a-3）x+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，求a的最小值；
（2）若方程f（x）-（$\frac{1}{2}$+a）x²-（a-4）x=0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可；（2）分離a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=x+a-3+$\frac{1}{x}$，（x＞0），
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，
則f'（x）≥0對(duì)x＞0恒成立，即$a≥-（x+\frac{1}{x}）+3$對(duì)x＞0恒成立，
而當(dāng)x＞0時(shí)，$-（x+\frac{1}{x}）+3≤-2+3=1$，
∴a≥1．
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，
則f'（x）≤0對(duì)x＞0恒成立，即$a≤-（x+\frac{1}{x}）+3$對(duì)x＞0恒成立，
這是不可能的．
綜上，a≥1．a(chǎn)的最小值為1．
（2）由$f（x）=（\frac{1}{2}-a）{x^2}+（a-2）x+2lnx=0$，
得$（a-\frac{1}{2}）{x^2}+（2-a）x=2lnx$，
即$a=\frac{lnx+x}{x^2}$，令$r（x）=\frac{lnx+x}{x^2}$，$r'（x）=\frac{{（\frac{1}{x}+1）{x^2}-2x（lnx+x）}}{x^3}=\frac{1-x-2lnx}{x^3}$，
得1-x-2lnx=0的根為1，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，r'（x）＞0，則r（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，r'（x）＜0，則r（x）單調(diào)遞減，
所以r（x）在x=1處取到最大值r（1）=1．
又x→0時(shí)r（x）→0，又x→+∞時(shí)r（x）→0，
所以要使$y=\frac{lnx+x}{x^2}$與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的由于以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．