【題目】已知f(x)=x2﹣ (x≠0,常數(shù)a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)若f(x)在(﹣∞,﹣2]上為減函數(shù),求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2,
對(duì)任意x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(﹣x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).
當(dāng)a≠0時(shí),f(x)=x2﹣ (a≠0,x≠0),取x=±1,
得f(﹣1)+f(1)=2≠0,f(﹣1)﹣f(1)=﹣2a≠0,
∴f(﹣1)≠f(1),f(﹣1)≠﹣f(1),
∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),
綜上,當(dāng)a=0時(shí),f(x)為偶函數(shù);
當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
(2)解:f′(x)=2x+ ,
要使函數(shù)f(x)在x∈(﹣∞,﹣2]上為減函數(shù),
則有f′(x)≤0在(﹣∞,﹣2]時(shí)恒成立,
即2x+ ≤0恒成立,
即a≤﹣2x3對(duì)x∈(﹣∞,﹣2]恒成立,
故a≤16
【解析】(1)通過(guò)討論a=0和a≠0,結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤﹣2x3對(duì)x∈(﹣∞,﹣2]恒成立,從而求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著節(jié)假日外出旅游人數(shù)增多,倡導(dǎo)文明旅游的同時(shí),生活垃圾處理也面臨新的挑戰(zhàn),某海濱城市沿海有三個(gè)旅游景點(diǎn),在岸邊兩地的中點(diǎn)處設(shè)有一個(gè)垃圾回收站點(diǎn)(如圖),兩地相距10,從回收站觀望地和地所成的視角為,且,設(shè);
(1)用分別表示和,并求出的取值范圍;
(2)某一時(shí)刻太陽(yáng)與三點(diǎn)在同一直線,此時(shí)地到直線的距離為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+ csinB.
(1)若a=2,b= ,求c
(2)設(shè)函數(shù)y= sin(2A﹣30°)﹣2sin2(C﹣15°),求y的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)組織了一次高二文科學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試,學(xué)校從測(cè)試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)若所得分?jǐn)?shù)大于等于80分認(rèn)定為優(yōu)秀,求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人,從這5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是空間兩條直線, 是空間兩個(gè)平面,則下列命題中不正確的是( )
A. 當(dāng)時(shí),“”是“”的充要條件
B. 當(dāng)時(shí),“”是“”的充分不必要條件
C. 當(dāng)時(shí),“”是“”的必要不充分條件
D. 當(dāng)時(shí),“”是“”的充分不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,直線.
(1)求證:對(duì),直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)若,求的值;
(3)當(dāng)取最小值時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,且a1 , a2 , a5成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(﹣1)n (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工某種零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了6次試驗(yàn),收集數(shù)據(jù)如下:
零件數(shù)(個(gè)) | ||||||
加工時(shí)間(小時(shí)) |
(Ⅰ)在給定的坐標(biāo)系中劃出散點(diǎn)圖,并指出兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(Ⅱ)求回歸直線方程;
(Ⅲ)試預(yù)測(cè)加工個(gè)零件所花費(fèi)的時(shí)間?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為選拔選手參加“中國(guó)漢字聽寫大全”,某中學(xué)舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動(dòng).為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).
(Ⅰ)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“中國(guó)漢字聽寫大會(huì)”,每次抽取1人,求在第1次抽取的成績(jī)低于90分的前提下,第2次抽取的成績(jī)?nèi)缘陀?0分的概率.
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