Question

7．如圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（色括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n＞l，n∈N^*）個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為a_n，則$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2016}}{a_{2017}}}}$=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象的規(guī)律可得出通項(xiàng)公式a_n，根據(jù)數(shù)列{$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$}的特點(diǎn)可用列項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和的公式，而則$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2016}}{a_{2017}}}}$是前2015項(xiàng)的和，代入前n項(xiàng)和公式即可得到答案．

解答 解：每個(gè)邊有n個(gè)點(diǎn)，把每個(gè)邊的點(diǎn)數(shù)相加得3n，這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次，故第n個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為3n-3，即a_n=3n-3，
令S_n=$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{n-1}{n}$
$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2016}}{a_{2017}}}}$+=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$$-\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查簡(jiǎn)單的和清推理，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和問題，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬中檔題．