Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx（b為常數(shù)），若b＞1對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：

分析：要使得對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，得到對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意實(shí)數(shù)x，|f′（x）|＞|g′（x）|，列出b的不等關(guān)系，從而得出b的取值范圍．

解答： 解：對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意實(shí)數(shù)x，f′（x）=

1

x

∈[

1

2

，1]．
g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，
要使得對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，
若用注意到f（x）是增函數(shù)，不妨設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），問題轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|
等價(jià)于-f（x₁）+f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）從而f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）且f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
即f（x）-g（x）與f（x）+g（x）都是增函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，
即

1

x

＞|b-x|，于是x-

1

x

≤b≤x+

1

x

即（x-

1

x

）_max≤b≤（x+

1

x

）_min
∴

3

2

≤b≤2．
則b的取值范圍[

3

2

，2]．
故答案為：[

3

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．