Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的表達式可改寫為f（x）=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點（-

π

6

，0）對稱；
④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

2π

3

對稱．
以上命題成立的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①由f（x）=4sin（2x+

π

3

）的周期為π，可知當f（x₁）=f（x₂）=0時，x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍，可判斷②的正誤；
②利用誘導(dǎo)公式可知f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），從而可判斷③的正誤；
③f（-

π

6

）=0可判斷③的正誤；
④利用f（-

2π

3

）=0可判斷④的正誤

解答： 解：①∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）的周期T=

2π

2

=π，
∴由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍，故①錯誤；
②∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），
∴y=f（x）的表達式可改寫為f（x）=4cos（2x-

π

6

），即②正確；
③∵f（-

π

6

）=4sin[2×（-

π

6

）+

π

3

]=0，∴y=f（x）的圖象關(guān)于點（-

π

6

，0）對稱，即③正確；
④∵f（-

2π

3

）=4sin[2×（-

2π

3

）+

π

3

]=0，不是最值，∴y=f（x）的圖象不關(guān)于直線x=-

2π

3

對稱，即④錯誤；
綜上所述，以上命題成立的序號是②③．
故答案為：②③

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的周期性、對稱性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．