Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=sin（

3

2

π+x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=cos（2x+

π

4

）圖象的一條對稱軸方程為x=

π

8

；
③對于任意實數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時，f'（x）＞0，g'（x）＞0則x＜0時，f'（x）＞g'（x）；④函數(shù)f（2-x）與函數(shù)f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱；⑤若x＞0，且x≠1則1gx+

1

lgx

≥2；
其中真命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：利用誘導公式變形判斷①；代值驗證②；由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的符號間的關系判斷③；求出函數(shù)y=f（x-2）圖象關于直線x=2對稱的函數(shù)解析式判斷④；由利用基本不等式求最值的條件判斷⑤．

解答： 解：對于①，函數(shù)y=sin（

3

2

π+x）=-cosx是偶函數(shù)，命題①正確；
對于②，由y=f(x)=cos(2×

π

8

+

π

4

)=0，∴函數(shù)y=cos（2x+

π

4

）圖象的一條對稱軸方程為x=

π

8

錯誤；
對于③，對于任意實數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），說明f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，又x＞0時，f'（x）＞0，g'（x）＞0，說明在（0，+∞）上f（x）為增函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則x＜0時，f'（x）＞0，g'（x）＜0，f'（x）＞g'（x），命題③正確；
對于④，函數(shù)y=f（x-2）圖象關于直線x=2對稱的函數(shù)解析式為y=f[（4-x）-2]=f（2-x），命題④正確；
對于⑤，若x＞0，且x≠1則1gx+

1

lgx

≥2錯誤，當x∈（0，1）時1gx+

1

lgx

≤-2．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)符號間的關系，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．