Question

某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)某商場(chǎng)一種品牌服裝銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該服裝在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）每件的銷售價(jià)格P（x）（百元）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足P（x）=1+

k

x

（k為正常數(shù)），日銷售量Q（x）（件）與時(shí)間x（天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

（天）	10	20	25	30
（件）	110	120	125	120

已知第10天的日銷售收入為121（百元）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）給出以下三種函數(shù)模型①Q(mào)（x）=ax+b，②Q（x）=a|x-25|+b，③Q（x）=a•b^x，其中a≠0，b＞0且b≠1．請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述日銷售量Q（x）（件）與時(shí)間x（天）的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；
（Ⅲ）x取何值時(shí)，該服裝的日銷售收入為121百元？（1≤x≤30，x∈N）

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過(guò)f（10）=P（10）•Q（10），即可求k的值；
（Ⅱ）通過(guò)日銷售量有增有減并不單調(diào)，判斷函數(shù)模型找出最合適的一種函數(shù)來(lái)描述日銷售量Q（x）（件）與時(shí)間x（天）的變化關(guān)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程，求出該函數(shù)的解析式；
（Ⅲ）利用分段函數(shù)，通過(guò)基本不等式，以及函數(shù)的單調(diào)性，求出x的值，服裝的日銷售收入為121百元．

解答： 解：（Ⅰ）依題意有：f（10）=P（10）•Q（10），
即(1+

k

10

)×110=121，所以k=1．        …（2分）
（Ⅱ）由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，日銷售量有增有減并不單調(diào)，（或根據(jù)Q（20）=Q（30）），故只能選②．Q（x）=a|x-25|+b． …（4分）
從表中任意取兩組值代入可求得：a=-1，b=125，
得Q（x）=-|x-25|+125=125-|x-25|． …（6分）
（Ⅲ）∵Q(x)=125-|x-25|=

100+x，(1≤x＜25) 150-x．(25≤x≤30)

，所以日銷售收入：f(x)=

x+ 100 x +101，(1≤x＜25) 150 x -x+149．(25≤x≤30)

．…（8分）
①當(dāng)1≤x＜25時(shí)，令x+

100

x

+101=121，解得x=10；…（10分）
②當(dāng)25≤x≤30時(shí)，

150

x

-x為減函數(shù)，
所以，當(dāng)x=30時(shí)，f（x）_min=124（百元）．
由于124＞121，故當(dāng)25≤x≤30時(shí)，日銷售收入不可能為121百元．…（13分）
綜上所述：當(dāng)x=10時(shí)，該服裝的日銷售收入為121百元．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，實(shí)際問(wèn)題性質(zhì)函數(shù)的模型，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．