Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，， ，，，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）運(yùn)用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法進(jìn)行證明可得結(jié)論．（Ⅱ）運(yùn)用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法求解，利用坐標(biāo)法求解時(shí)，在得到兩平面法向量夾角余弦值的基礎(chǔ)上，通過圖形判斷出二面角的大小，最后才能得到結(jié)論．

試題解析：

解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連，

∵，

∴，

∵是平行四邊形，，，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

∴平面，

∴.

∵分別是的中點(diǎn)，

∴∥，∥，

∴，，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴是二面角的平面角.

, ，，

在中，根據(jù)余弦定理得，

∴二面角的余弦值為．

解法二：（Ⅰ）∵是平行四邊形，，

，∴，

∴是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，

∴，∵∥，

∴.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，

設(shè)，由，，

可得，，，

∴，

∵是的中點(diǎn)，∴，

∵，

∴，

∵，，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

設(shè)是平面的法向量，

由，得，

令，則．

又是平面的法向量，

∴，

由圖形知二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.