Question

2．關(guān)于函數(shù)$f（x）=lg\frac{{{x^2}+1}}{|x|}（x≠0）$，有下列命題：
①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）為增函數(shù)；
③f（x）的最小值是lg2；
④當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)，f（x）是增函數(shù)；
⑤f（x）無(wú)最大值，也無(wú)最小值．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

• A． ①②
• B． ①③④
• C． ③④
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 ①可判函數(shù)為偶函數(shù)，可知正確；
②由函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的單調(diào)性，可知不正確；
③結(jié)合前面的性質(zhì)可知函數(shù)最小值為lg2；
④當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)函數(shù)t=x+$\frac{1}{x}$是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)知，f（x）是增函數(shù)；
⑤由③知，不正確．

解答 解：①定義域?yàn)镽，又滿(mǎn)足f（-x）=f（x），所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，正確．
②令t=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，不正確．
③t=x+$\frac{1}{x}$≥2，又是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值是lg2，正確．
④當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)函數(shù)t=x+$\frac{1}{x}$是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)知，f（x）是增函數(shù)，正確．
⑤由③知，不正確．
故正確結(jié)論的序號(hào)是：①③④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．