Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=ca_n+m（c，m為常數(shù)）
（1）當c=1，m=1時，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）當c=2，m=-1時，證明：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）當c=1，m=1時，數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n的表達式．
（2）當c=2，m=-1時，a_n+1=2a_n-1，從而a_n+1-1=2（a_n-1），由此能證明數(shù)列{a_n-1}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
（3）推導(dǎo)出a_n=2ⁿ+1，從而b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此能證明S_n＜1．

解答 解：（1）當c=1，m=1時，數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2．
證明：（2）當c=2，m=-1時，數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₁-1=3-1=2，
∴數(shù)列{a_n-1}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
（3）∵數(shù)列{a_n-1}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}-1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，∴a_n=2ⁿ+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
∴S_n＜1．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和小于1的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．