Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，為動點，且直線與直線的斜率之積為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)過點的直線與曲線相交于不同的兩點，.若點在軸上，且，求點的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、中點坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、坐標(biāo)化方法等.第一問，設(shè)出動點坐標(biāo)，利用斜率的關(guān)系列出表達(dá)式，整理出方程；第二問，先根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，因為相交，所以聯(lián)立方程，消參，得到關(guān)于的方程，找到中點坐標(biāo)，因為，所以找直線的垂直平分線，令，得到縱坐標(biāo)，討論的正負(fù)，利用基本不等式得到范圍.
試題解析：（1）設(shè)動點的坐標(biāo)為，依題意可知，
整理得.                     3分
所以動點的軌跡的方程為.            5分
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，滿足條件的點的縱坐標(biāo)為.       7分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.
將代入并整理得，
.  .           8分  
設(shè)，，則，.
設(shè)的中點為，則，，
所以.                 10分
由題意可知，
又直線的垂直平分線的方程為.
令解得 .                        .   11分
當(dāng)時，因為，所以；      
當(dāng)時，因為，所以.   .   13分
綜上所述，點縱坐標(biāo)的取值范圍是.               .   14分