Question

設(shè)非空集合{x|a≤x≤b}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x²∈S，給出如下三個(gè)命題：①若a=1，則S={1}②若a=-

1

2

，則

1

4

≤b≤1；③若b=

1

2

，則-

2

2

≤a≤0．其中正確命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：根據(jù)題中條件：“當(dāng)x∈S時(shí)，有x²∈S”對(duì)三個(gè)命題一一進(jìn)行驗(yàn)證即可：對(duì)于①a=1，得

b2≤b b≥1

，②a=-

1

2

，則

b2≤b 1 4 ≤b

；對(duì)于③若b=

1

2

，則

1 2 ≥b 1 2 ≥b2

，最后解出不等式，根據(jù)解出的結(jié)果與四個(gè)命題的結(jié)論對(duì)照，即可得出正確結(jié)果有幾個(gè)．

解答： 解：由定義設(shè)非空集合S={x|a≤x≤b}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x²∈S知，符合定義的參數(shù)a的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證a∈S時(shí)，有a²∈S即a²≥b，符合條件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證b∈S時(shí)，有b²∈S即b²≤b，正對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行判斷：
對(duì)于①a=1，a²=1∈S故必有

b2≤b b≥1

，可得b=1，S={1}，
②a=-

1

2

，a2=

1

4

∈S，則

b2≤b 1 4 ≤b

，解之可得

1

4

≤b≤1；
對(duì)于③若b=

1

2

，則

1 2 ≥a a2≥a 1 2 ≥a2

，解之可得-

2

2

≤a≤0，
所以正確命題有3個(gè)．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的運(yùn)算及不等式和不等式組的解法．屬于創(chuàng)新題，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的概念的正確理解，列出不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問題解決，是中檔題．