Question

已知a，b，c都是正數(shù)，x，y，z∈R，且a+b+c=1，ax+by+cz=1，則函數(shù)f（x，y，z）=ax²+by²+cz²的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：a+b+c=1≥3

3	abc

（a=b=c=

1

3

時等號成立），ax+by+cz=1≥3

3	axbycz

，（ax=by=cz，等號成立），
函數(shù)f（x，y，z）=ax²+by²+cz²≥3

3	ax2by2cz2

（ax²=by²=cz²，等號成立），利用等號同時成立可得出最小值．

解答： 解：∵a，b，c都是正數(shù)，x，y，z∈R，且a+b+c=1，ax+by+cz=1，
∴a+b+c=1≥3

3	abc

（a=b=c=

1

3

時等號成立），ax+by+cz=1≥3

3	axbycz

，（ax=by=cz，等號成立），
∴函數(shù)f（x，y，z）=ax²+by²+cz²≥3

3	ax2by2cz2

（ax²=by²=cz²，等號成立）
∴可判斷：a=b=c=

1

3

，x=y=z=1時，三個不等式的等號同時成立，
∴f（x，y，z）=ax²+by²+cz²的最小值是1，
故答案為：1

點評：本題考查了基本不等式在函數(shù)最值中的應用，屬于難題．